Am 5. Juli 1745 wurde er in Mülheim geboren. Sein Vater, Christian Friedrich Kortum, Provisor in der Künzelschen Apotheke (der ältesten Apotheke Mülheims), heiratete 1742 die Witwe Künzel. Eine "Kortum"-Apotheke hat es seinerzeit nie gegeben, aber die 1732 konzessionierte und seit 1733 von Friedrich Künzel geführte Apotheke besteht noch heute unter dem Namen "Engel-Apotheke".
Kortum wurde früh Halbwaise. Sein Vater starb, als der Junge gerade drei Jahre alt war. Carl war das einzige Kind aus der zweiten Ehe seiner Mutter. Sein ältester Halbbruder war zum Erben der Apotheke bestimmt und so wurde recht früh festgelegt, dass Kortum studieren sollte. Mit dem Lesenlernen wollte es bei ihm jedoch nicht auf Anhieb klappen. Ein findiger Lehrer namens Grabow kam auf die glückliche Idee, Buchstaben aus Kuchenteig backen zu lassen. Die durfte Carl dann essen, wenn er sie schreiben und im Lesebuch wiederentdecken konnte. Danach war alles einfach. Kortum konnte gar nicht genug Bücher von seiner Mutter bekommen. Am liebsten las er Sagen und Geschichten historischen Inhalts.
Bis zu seinem 15. Lebensjahr besuchte er die Volksschule in Mülheim. Latein und Griechisch wird er vermutlich bei seinem Prediger gelernt haben, denn ein Gymnasium gab es zu dieser Zeit noch nicht. Dennoch war seine Vorbildung so gut, dass er eine Klasse überspringen durfte, als er 1760 für drei Jahre auf das Archigymnasium in Dortmund ging. Er soll zu den besten Schülern der Schule gehört haben. Gewohnt hat er zu dieser Zeit bei seinem Onkel Daniel Kortum, ebenfalls Apotheker. In Dortmund fiel zuerst Kortums satirisches Talent auf - seine Lehrer mussten ihn so manches Mal zur Ordnung rufen. Gut vorbereitet ging es 1763 zur Universität Duisburg. Nach langem Überlegen hatte Kortum sich für Medizin entschieden. Er blieb somit auch einer gewissen Familientradition treu, denn viele seiner Vorfahren waren Mediziner oder Geistliche gewesen.
Ausgebildet wurde Kortum vor allem von den renommierten Professoren Johann Gottfried Leidenfrost und Christian Arend Scherer in Duisburg. Er besuchte sechs Semester lang medizinische Vorlesungen, betrieb botanische Studien, fertigte Kräuterbücher an und hörte als Gast auch theologische Vorlesungen. Seine Studenten- und Prüfungszeit beschreibt Kortum ausführlich in seinen Lebenserinnerungen. Damals genügten die besagten sechs Semester. Kortum ließ sich Mitte des Jahres 1766, noch keine 22 Jahre alt, in Mülheim als voll ausgebildeter Arzt nieder. Seine Praxis befand sich in einem Raum des mütterlichen Hauses. Im nächsten Sommer ging er für ein halbes Jahr nach Berlin und besuchte dort einen anatomischen Kurs, um später, falls notwendig, in preußischen Landen praktizieren zu dürfen. Er wohnte schwierigen Operationen in der Charité bei und hörte Vorlesungen über praktische Wundarznei. Er berichtete stolz, dass er sämtliche Mitglieder der königlichen Familie und auch sonst manch berühmten Gelehrten gesehen hatte. Mit den besten Zeugnissen und Briefen versehen, kehrte er nach Mülheim zurück. Berlin war ihm zu teuer, und in Mülheim wurde er sehr erfolgreich. Er schlug vorteilhafte berufliche Angebote nach Lennep, Hagen oder Wesel aus und praktizierte bis 1770 in Mülheim.
Seine Frau jedoch stammte aus Bochum. Da Kortum dort einen großen Verwandtenkreis hatte, ließ er sich schließlich dazu bewegen, dorthin zu ziehen. Bochum war zu dieser Zeit ein verschlafenes Nest mit ca. 1500 Einwohnern und hatte noch keinen akademisch vorgebildeten Arzt. Er blieb bis zu seinem Tode dort und wurde ein angesehener Bürger und noch besserer Arzt: Das Oberbergamt Wetter bestellte ihn zum Bergarzt. Im Jahre 1816 konnte er sein goldenes Doktorjubiläum feiern. Dazu verlieh ihm die Universität Duisburg den Ehrendoktortitel und der König Preußens, Friedrich Wilhelm III., den Titel des Hofrats. Neben seinem medizinischen Fachgebiet kam er zu Ruhm durch seine Nebenbeschäftigung, das Reimeschmieden. Kortums berühmtestes Werk war die "Jobsiade" über seinen Helden Hieronymus Jobs. Kortum war aber auch ein sehr talentierter Maler und Zeichner, der mit Humor gegen den Aberglauben, die Dummheit und die Missverhältnisse seiner Zeit kämpfte.
Am 15. August 1824 starb Carl Arnold Kortum in Bochum. Auf dem alten Bochumer Friedhof ist sein Grab mit dem selbst entworfenen Grabstein heute noch zu finden.